- 试题详情及答案解析
- （本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（1，﹣2）．直线OM是一次函数y=x的图像．让⊙A沿y轴正方向以每秒1个单位长度移动，移动时间为t．
（1）填空
①直线OM与x轴所夹的锐角度数为 °；
②当t= 时，⊙A与坐标轴有两个公共点；
（2）当t＞3时，求出运动过程中⊙A与直线OM相切时的t的值；
（3）运动过程中，当⊙A与直线OM相交所得的弦长为1时，求t的值．- 答案：（1）①45°；②t＝1或2或3时⊙A与坐标轴有两个交点；
（2）t＝
；（3）t＝
或t＝
. - 试题解析：解：（1）①直线OM与x轴所夹的锐角度数是45°；
②当点A的坐标是（1，－1）时⊙A与坐标轴有两个交点，此时t＝1；
当点A的坐标是（1，0）时⊙A与坐标轴有两个交点，此时t＝2；
当点A的坐标是（1，1）时⊙A与坐标轴有两个交点，此时t＝3；
所以t＝1或2或3时⊙A与坐标轴有两个交点；
（2）如下图所示，当t＝3时，点A的坐标是（1，1），
⊙A与直线OM相交，
所以当t＞3时，⊙A在直线OM上方，
如果⊙A相切，
则AB＝1，
因为直线OM与x轴的夹角是45°，
所以∠ACB＝45°，
点C的坐标是（1，1），
所以BC＝1，
则有AC＝
＝
，
所以运动的时间是t＝；
（3）如下图所示，当点A在x轴下方时，
过点A作AB⊥y轴于B，AC⊥OM于C，交x轴于点Q，AH⊥x轴于点H，
⊙A与直线OM交于E、F，
则AB＝OH＝1，AE＝AF＝1，OB＝AH＝2－t，
∵EF＝1，
∴△AEF是等边三角形，
∴AC＝
AE＝，
∵直线OM与x轴的夹角是45°，
∴△OCQ与△AHQ都是等腰直角三角形，
∴HQ＝AH＝2－t，
∴OQ＝OH－HQ＝t－1，AQ＝
，
∴CQ＝
OQ＝
，
∵AC＝CQ＋AQ，
∴
，
∴t＝ ；
当点A在x轴上方时，如下图所示，过点A作AB⊥y轴于B，AC⊥OM于C，
过点A作 AH⊥x轴于点H，交直线OM于点Q，
⊙A与直线OM交于E、F，
则AB＝OH＝1，AE＝AF＝1，OB＝AH＝2－t，
∵EF＝1，
∴△AEF是等边三角形，
∴AC＝，
∵直线OM与x轴的夹角是45°，
∴△OCQ与△AHQ都是等腰直角三角形，
∴HQ＝OH＝1，
AQ＝AC＝
＝
，
∵AH＝HQ＋AQ，
∴
，
∴t＝
∴t＝或t＝.
考点：圆的综合题
点评：本题主要考查了切线的性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，本题难度较大综合性较强，在解决本题时应注意分类讨论.