- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）已知椭圆C:
过点
，离心率为
，点
分别为其左右焦点.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）若
上存在两个点
，椭圆上有两个点
满足，
三点共线，
三点共线，且
.求四边形
面积的最小值.- 答案：（1）
；（2）
. - 试题分析：（1）由离心率为e=，得到一方程，再由椭圆过点，代入方程，再由a，b，c的关系，解方程组，即可得到a，b，从而求出椭圆方程；
（2）按直线
斜率不存在和存在分别讨论：当直线斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得
,
.当直线斜率存在时，设直线方程为：
与联立消去y，得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式可将MN的长用k的代数式表示出来；此时由于直线，所以PQ的方程为：
将它与椭圆方程联立消去y，得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式可将PQ的长用k的代数式表示出来；从而四边形面积S可表示为k的函数，进而就可求出S的最小值．
试题解析：（1）由题意得：
，得
，因为
，得
，所以
，所以椭圆C方程为. 4分
（2）当直线斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得,.
当直线斜率存在时，设直线方程为：与联立得
；
令
，
，
.
， 6分
，
直线PQ的方程为：
将直线与椭圆联立得，
令
,
，
；
， 8分
四边形面积S=
，
令
，上式
=
所以
.最小值为 12分
考点：1．椭圆的标准方程；2．直线与圆锥曲线的关系．