- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分） 设函数
，
．
（Ⅰ）讨论函数
的单调性；
（Ⅱ）若存在
，使得
成立，求满足条件的最大整数
；
（Ⅲ）如果对任意的
，都有
成立，求实数
的取值范围．- 答案：（Ⅰ） ①当
时，函数
在
上单调递增,②当
时，函数的单调递增区间为
，函数的单调递减区间为
；
（Ⅱ）18；（Ⅲ）
。 - 试题分析：（Ⅰ）对函数
求导，根据的不同取值，讨论
的符号，即可函数的单调性；
（Ⅱ） 存在，使得等价于在区间
上，
，对函数
求导，研究其单调性与最值即可；
（Ⅲ）任意的，都有成立等价于在区间
上，函数
，由导数与函数单调性与最值关系，分别求函数
的最小值与函数的最大值，解不等式即可.
试题解析：（Ⅰ）
, 定义域（0，
） 1分
①当时，
，函数在上单调递增, 2分
②当时，
，函数的单调递增区间为.
，函数的单调递减区间为. 4分
（Ⅱ）存在，使得成立,
等价于
. 5分
考察
由上表可知
，
，
所以满足条件的最大整数
． 9分
（Ⅲ）当
时，由（Ⅱ）可知，
在
上是减函数，
在
上增函数，而
的最大值是1. 10分
要满足条件，则只需当时，
恒成立,
等价于
恒成立,
记
，
，
. 11分
当
时,
即函数在区间
上递增，
当
时,
即函数在区间
上递减，
取到极大值也是最大值
． 13分
所以
. 14分
另解:设
，
由于
，
所以
在
上递减，又
当时，
时
，
即函数
在区间上递增，在区间
上递减， 13分
所以
，所以. 14分
考点：导数与函数单调性、极值、最值，不等式恒成立问题的化归与转化.
