- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面，
, 点
是
的中点，
，且交
于点
．
（Ⅰ）求证:
平面
；
（Ⅱ）求证：直线
平面
；
（Ⅲ）求直线
与平面所成角的余弦值．- 答案：（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）
- 试题分析：法一：用几何关系证明和求值.（Ⅰ）连结
交
于
，证
即可；（Ⅱ）先证
平面
，再证
平面
即可；（Ⅲ）由三垂线定理先作出二面角
的平面角
，根据数据关系求之即可.
法二：建立空间直角坐标系，用空间向量证明求解.
试题解析：方法一：（Ⅰ）证明：连结交于，连结
． 
是正方形，∴是的中点． 
是
的中点，∴是△
的中位线．
∴． 2分
又∵
平面
，
平面，
∴
平面． 4分
（Ⅱ）证明：由条件有
∴
平面
，∴
6分
又∵
是的中点，∴
∴平面
∴
由已知
，∴平面
8分
（Ⅲ）由(Ⅱ)知
面
，则直线在面内的射影为
，
∴
为所求的直线与面所成的角． 10分
又
，∴在
中
∴
又
由
可得
∴
．∴
12分
∴直线与平面所成角的余弦值为
． 13分
考点：空间直线与平面平行、垂直的性质与判定.