- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面，
, 点
是
的中点，
，且交
于点
．
（Ⅰ）求证:
平面
；
（Ⅱ）求证：平面
⊥平面
；
（Ⅲ）求二面角
的余弦值．- 答案：（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）
- 试题分析：法一：用几何关系证明和求值.（Ⅰ）连结
交
于
，证
即可；（Ⅱ）先证
平面
，再证
平面
即可；（Ⅲ）由三垂线定理先作出二面角
的平面角
，根据数据关系求之即可.
法二：建立空间直角坐标系，用空间向量证明求解.
试题解析：方法一：（Ⅰ）证明：连结交于，连结
． 
是正方形，∴是的中点． 
是
的中点，∴是△
的中位线．
∴． 2分
又
平面
，
平面，
∴
平面． 4分
（Ⅱ）证明：由条件有
∴
平面
，且
平面
∴
又∵
是的中点，∴
∴平面
平面
∴
6分
由已知
∴平面
又平面
∴平面
平面 8分
（Ⅲ）取
中点
，则
．作
于
，连结
．
∵
底面
，∴
底面．
∴
为在平面内的射影．
∵,∴．
∴为二面角的平面角． 10分
设
，在
中，
，
∴
．
∴ 二面角的余弦的大小为
． 12分
方法二：（Ⅱ）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系
，由
,可设
，
则
．
， 
， 
,即有
6分
又且
．
平面
． 又平面
∴平面
⊥平面． 8分
（Ⅲ）
底面，∴
是平面的一个法向量，
．
设平面的法向量为
, 
, 则
即
, ∴
令
,则
． 10分
, 由作图可知二面角为锐二面角
∴二面角的余弦值为
． 12分
考点：空间直线与平面平行、垂直的性质与判定.