- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）如图，已知圆E:
，点
，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹
的方程；
（Ⅱ）设直线
与（Ⅰ）中轨迹相交于
两点, 直线
的斜率分别为
（其中
）．△
的面积为
, 以
为直径的圆的面积分别为
．若
恰好构成等比数列, 求
的取值范围．- 答案：（Ⅰ）
;（Ⅱ） 
. - 试题分析：（Ⅰ）由垂直平分线性质可知，
，所以有
，由椭圆定义可得点
的轨迹为椭圆，可求其轨迹方程；
（Ⅱ） 设直线
的方程为
，与椭圆方程联立，由
及韦达定理可求得
，再利用
可求出
的取值范围，求出
，即可求
的取值范围。
试题解析：（Ⅰ）连结QF，根据题意，|QP|＝|QF|，则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4
，
故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆． 2分
设其方程为
，可知
，
，则
， 3分
所以点Q的轨迹的方程为． 4分
（Ⅱ）设直线的方程为
，
，
由
可得
，
由韦达定理有：
且
6分
∵构成等比数列，
=
，即：
由韦达定理代入化简得：
．∵
，
． 8分
此时
，即
．又由
三点不共线得
从而
．
故
10分
∵
则 
为定值． 12分
当且仅当
时等号成立．
综上：
的取值范围是． 13分
考点：椭圆定义及性质，直线与圆锥曲线关系，基本不等式.