- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知函数
，
， 其中，
是自然对数的底数．函数
，
．
（Ⅰ）求
的最小值；
（Ⅱ）将
的全部零点按照从小到大的顺序排成数列
，求证：
（1）
，其中
；
（2）
．- 答案：（Ⅰ）0（Ⅱ）证明见解析
- 试题分析：（1）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数
在区间
内使
的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得；（2）证明不等式，利用函数的单调性很常见，一定要注意选取恰当的函数及单调区间（3）不等式具有放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好切入点.
试题解析：（Ⅰ）
，当
时，
；当
时，
；所以，函数
在
上是减函数，在
上是增函数，所以
，
综上所述，函数
的最小值是0． 4分
（Ⅱ）证明：对
求导得
，令
可得
，当
时，
，此时
；当
时，
，此时
．所以，函数的单调递减区间为
，单调递增区间为
和
． 7分
因为函数在区间上单调递增，又
，所以
．当
时，因为
，且函数的图像是连续不断的,所以在区间
内至少存在一个零点，又在区间上是单调的，故
． 9分
（2）证明：由（Ⅰ）知，
，则
，因此，当时，
记S=
则S
11分
由（1）知，S
当
时，
；
当
时，S
即，S
，证毕． 14分
考点：利用导数求函数最值，利用单调性及放缩法证明不等式.