- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知
,函数
.
（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线的斜率；
（Ⅱ）讨论
的单调性；
（Ⅲ）是否存在实数
，使得方程
有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.- 答案：（Ⅰ）0； （Ⅱ）
； （Ⅲ）
- 试题分析：（Ⅰ）当
时，函数
.对函数
求导，并求出
即为曲线在点处的切线的斜率.
（Ⅱ）由
，对
进行讨论，即可得到导函数
的值的正负.由此得到函数的单调性.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，当当
上单调递减，方程不可能有两个不等的实数根；所以当
时，根据函数的单调性，原题意等价于等价于函数的极小值
.由此可解得结论.
试题解析：（1）当时，
所以曲线y=
（x）在点处的切线的斜率为0. 3分
（2） 4分
当上单调递减； 6分
当
.
.
8分
（3）存在
，使得方程有两个不等的实数根. 9分
理由如下：
由（1）可知当上单调递减，方程不可能有两个不等的实数根； 11分
由（2）得，
使得方程有两个不等的实数根，等价于函数的极小值，即
，解得
所以的取值范围是 14分
考点：1.导数的几何意义.2.函数的单调性.3.函数的极值最值.