- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）如图，已知抛物线
，过焦点F任作一条直线与
相交于
两点，过点
作
轴的平行线与直线
相交于点
（
为坐标原点）．
（Ⅰ）证明：动点在定直线上；
（Ⅱ）点P为抛物线C上的动点，直线
为抛物线C在P点处的切线，求点Q（0，4）到直线距离的最小值．- 答案：（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
- 试题分析：（1）解决直线和抛物线的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式
：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论；（2）点Q到直线距离的最小值，应先根据题意设出点，再由已知条件求出直线方程，由点到直线的距离公式，可得到一个参数方程，利用基本不等式或函数单调性求出最值即可
试题解析：（1）解：依题意，F（0，1），易知AB的斜率存在，设AB的方程为
．代入
得
，即
．设
，则
， 2分
直线AO的方程为
；BD的方程为
；解得交点D的坐标为
， 4分
注意到及
，则有
，
因此，D点在定直线
上． 6分
（Ⅱ）设
为曲线上一点，因为
，所以的斜率为
，因此直线的方程为
，即
． 8分
则Q（0，4）点到的距离
， 10分
所以
当
时取等号，所以O点到距离的最小值为． 13分
考点：（1）直线与抛物线的综合问题（2）求最小值.