- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）已知二次函数
.
（1）若
，且对任意实数
均有
，求
的表达式；
（2）在（1）的条件下，当
时，设
，求g（x）最小值.- 答案：（1）
,
（2）若
时，当
时，
取得最小值
；
若
时，当
时，取得最小值
；
若
时，当
时，取得最小值
； - 试题分析：第一问：二次函数的图像是开口向上的抛物线，要求对任意实数均有，只需要求抛物线与
轴无交点或一个交点，即
.第二问是求含参二次函数的最大值与最小值问题，由于二次项系数为1，开口向上，对称轴的位置与
有关，所以针对对称轴的三种不同位置加以分类研究，求出相应的最小值。
试题解析：（1）[法一]依题意有
得：
.......，
又因为
对任意实数
都成立，说明二次函数的图象抛物线的开口向上，与轴相离或相切，即
........，把代入得：
，即：
，所以只能
；这时
.则
[法二]依题意有得：.......，
又
的最小值为
，又因为对任意实数都有
成立，则
，
，即
.........,
将代入得：
，则
因为，所以
=
抛物线开口向上，对称轴方程为
若
，即时，在
上是增函数，当时，取得最小值
若
，即时，在
上是减函数，在
上是增函数，
当时，取得最小值；
若
，即时，在上是减函数,当时，取得最小值；
考点：1.一元二次不等式恒成立；2.二次函数的最大值与最小值；3.分类讨论思想解题