- 试题详情及答案解析
- （8分）如图，在△ABC中，∠ABC=45º，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE=∠CBE。
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：
- 答案：（1）BH=AC,（2）证明见解析.
- 试题分析：（1）由CD⊥AB知∠BDC=∠BEC，因为∠ABC=45º，所以∠ABC=∠BCD ，故CD="BD" 又因BE⊥AC所以∠ACD,∠ABE都是∠A的余角故相等，因此可证△DBH≌△DCA所以BH=AC
（2） 连接GC，根据“等腰三角形三线合一”的性质：由BE⊥AC，∠ABE=∠CBE可得AE=CE
BF=FC,BD=CD得BG=CG因为GC2-GE2=CE2.所以BG2-GE2=EA2
试题解析：（1）BH="AC"
证明：∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90º, ∠ABC=45º,
∴∠BCD=45º=∠ABC,
∴DB=DC.
又∵∠BHD=∠CHE
∴∠DBH=∠DCA
∴△DBH≌△DCA
∴BH=AC.
（2）证明：连接GC，∴GC2-GE2=CE2.
∵F为BC的中点，DB=DC
∴DF垂直平分BC，
∴BG=GC，∴BG2-GE2=EC2
∵∠ABE=∠CBE ∴EC="EA"
∴BG2-GE2=EA2
考点：“ASA”判定三角形全等 ，三线合一，勾股定理.