- 试题详情及答案解析
- （本题10分）在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F，AC∥BF．
（1）如图1，求证：FG=FB；
（2）如图2，连接BD、AC，若BD=BG，求证：AC∥BF；
（3）在（2）的条件下，若tan∠F=
，CD=1，求⊙O的半径- 答案：（1）（2）证明见解析；（3）
- 试题分析：（1）连接OB，由BF是圆的切线可得直角，又有垂直，对顶角，利用等角的余角相等即可证；
（2）∠CAB和∠BDC都是弧BC所对的圆周角可证∠CAB=∠BDC，又可证∠DGB=∠GDB就可证∠CAB=∠GBF，即可证得平行；
（3）由平行可得∠ACE=∠F就得到tan∠F==tan∠ACE，由垂径定理可的CE=
，再由勾股定理求得AE，连接OE再用勾股定理求得半径.
试题解析：证明：（1）如图1
连接OB ∵BF是⊙O的切线
∴∠OBF=90°
∴∠OBA+∠GBF=90°
∵OA⊥CD
∴∠AEG=90° ∴∠AGE+∠EAG=90°
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∴∠AGE=∠FBG
∵∠AGE=∠FGB
∴∠FGB=∠FBG
∴FG=FB
（2）∵BD=BG ∴∠DGB=∠GDB
∵∠CAB和∠BDC都是弧BC所对的圆周角
∴∠CAB=∠BDC
∴∠CAB=∠FGB
∵∠FGB=∠FBG
∴∠CAB=∠GBF
∴AC∥FB
解：（3）由（2）得∠FBG=∠CAG ∵∠FGB=∠FBG
∴∠CAG=∠FGB ∵∠FGB=∠CGA
∴∠CGA=∠CAG ∴CA=CG
∵AC∥BF∴∠ACE=∠F∴tan∠ACE=tan∠F
∵tan∠F=
∴tan∠ACE=∴
设AE=3k，则CE="4k." 在Rt△ACE中，
=5k
∴CG=5k
∴EG=CG-CE=5k-4k=k
∴k=1
∴CE=4，AE=3
连接OC,设⊙O的半径为R ，在Rt△CEO中，
CO2=CE2＋OE 2 R2=42＋（R-3）2 解得R=
即⊙O的半径为.
考点：切线的性质定理，勾股定理，平行的判定.