- 试题详情及答案解析
- （本题10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线
与y轴交于点C，与x轴交于点B，抛物线
经过B、C两点，与x轴的正半轴交于另一点A，且OA ：OC="2" ：7．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为线段CB上，点P在对称轴的右侧抛物线上，PD=PB，当tan∠PDB＝２，求P点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q（7，m）在第四象限内，点R在对称轴的右侧抛物线上，若以点P、D、Q、R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q、R的坐标．- 答案：（1）y＝-
x２＋
x-7 ；（2）P（8，-3）；
（3）R（10，-12）,Q（7，-11）或R（6，2），Q（7，-7） - 试题分析：（1）有直线解析式可以求出C点的坐标，再利用OA ：OC="2" ：7．求出A的坐标.最后把A、C代入抛物线解析式求出即可.
（2）先求出B的坐标可得∠OCB=∠OBC=45°，又过P作PE⊥BC于点E，所以∠CFG=∠OCB==45°就得到线段EF、BF、EP的数量关系；又tan∠PDB＝２可以得到线段EP、DE、PD的数量关系，然后设出P、F的坐标利用他们的纵坐标相等即可求出点的坐标；
（3）若以点P、D、Q、R为顶点的四边形为平行四边形有两种情况：线段PD有可能是边也有可能是对角线.
当PD是边时，即DP∥QR时，∵B（7，0），Q（7，n）∴BQ∥y轴
过P作PN∥BQ，过D作DN⊥BQ交PN于点N，过R作RM⊥BQ于点M. 设PD交BQ于点T，DN交BM于点I
即可证明△RMQ≌△DNP，再求出D点的坐标，设R点的横坐标为t，∵RM=DN，∴t-7=8-5解得t=10，再把t=10带入抛物线即可求出R、Q；当PD是对角线时，同理求出.
试题解析：（1）∵直线y=kx-7与y轴的负半轴交于点C ∴C（0，-7） ∴OC=7
∵抛物线y=ax2+bx+14a经过点C，∴14a=-7，∴a =- ∴y＝-x２＋bx-7
∵OA ：OC="2" ：7．∴OA=2，∴A（2，0）∵抛物线y＝-x２＋bx-7经过点A
∴b= ∴抛物线的解析式为y＝-x２＋x-7
（2）如图1，∵抛物线y＝-x２＋x-7经过B点， 令y=0解得x=7或x=2（舍）∴B（7，0）
∴OB=7∴OC=OB∴∠OCB=∠OBC=45°
过点P作PF⊥x轴于点G，交CB延长线于点F，
则PF∥y轴，∴∠CFG=∠OCB==45°
∴BF=
GF
过P作PE⊥BC于点E，
∵PD=PB
∴∠PBD=∠PDB
∴tan∠PBD=tan∠PDB=2
∴PE=2BE
∵EF=PE ∴BF=BE
∴PF=PE=2BE=2BF=4GF，
∴PG="3GF"
∵直线y=kx-7过B点 ∴k=1 ∴y=x-7
设F（
），则P（
）
因为点P在抛物线y＝-x２＋x-7上，
所以，
解得m=7（舍）或m=8
∴P（8，-3）
如图2,当DP∥QR时，即四边形DQRP是平行四边形 ∵B（7，0），Q（7，n）∴BQ∥y轴
过P作PN∥BQ，过D作DN⊥BQ交PN于点N，
过R作RM⊥BQ于点M.
设PD交BQ于点T，DN交BM于点I
∴∠DTB=∠DPN，∠PTQ=∠RQM, ∵∠DTB=∠PTQ
∴∠DPN=∠RQM
∵四边形DPRQ是平行四边形
∴DP=RQ
∵∠RMQ=∠DNP，∴△RMQ≌△DNP
∴RM=DN，MQ=PN
由（2）可求F（8，1），GF=1，BD=2BE=
BF=
∵∠QBC=45°，∴BI=DI=2 ∴D（5，-2）
设R点的横坐标为t，∵RM=DN，∴t-7=8-5
解得t=10
∵点R在抛物线y＝-x２＋x-7 上，
∴当t=10时， 
∴R（10,-12）
∵MQ=PN
∴3-2=-12-n，∴n=-11
∴R（10，-12）,Q（7，-11）
如图3，当DR∥QP时，即四边形DQPR是平行四边形
同理可求得R（6，2），Q（7，-7）
考点：求函数解析式，平行四边形的性质应用，函数的性质的应用.