- 试题详情及答案解析
- 如图，锐角三角形ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A.cosA B.sinA C.sin2A D.cos2A- 答案：D
- 试题分析：连接BE．构建直角△ABE，通过解该直角三角形求得cosA=
；然后通过相似三角形△AED∽△ABC的对应边的比成比例知=
；最后结合三角形的面积公式分别求得△ADE、△ABC的面积．
解：如图，连接BE．
∵BC为半圆的直径，
∴∠BEC=∠AEB=90°．
∴在直角△ABE中，cosA=，
∵点D、B、C、E四点共圆，
∴∠ABC+∠DEC=180°．
∵∠DEC+∠AED=180°，
∴∠ABC=∠AED．
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴=．
∵S△ADE=
AE•AD•sinA，S△ABC=AB•AC•sinA，
∴S△ADE：S△ABC=
=
=cos2A．
故选：D．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及解直角三角形等知识点．解答该题时，借用了圆内接四边形的内对角互补的性质．