- 试题详情及答案解析
- 如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4，则四边形ABCD面积为（ ）
- 答案：D
- 试题分析：连结BD，可得四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CBD，由圆内接四边形性质、诱导公式和三角形面积公式，化简得S=
（AB•AD+BC•CD）sinA=16sinA．再根据△ABD和△CBD有公共边BD，利用余弦定理列式解出cosA的值，从而解得A=120°，代入前面式子即可得出四边形ABCD的面积．
解：连结BD，可得四边形ABCD的面积为
S=S△ABD+S△CBD=
AB•ADsinA+BC•CDsinC
∵四边形ABCD内接于圆，∴A+C=180°，可得sinA=sinC．
S=AB•ADsinA+BC•CDsinC
=（AB•AD+BC•CD）sinA=（2×4+6×4）sinA=16sinA．…（*）
在△ABD中，由余弦定理可得
BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=22+42﹣2×2×4cosA=20﹣16cosA，
同理可得：在△CDB中，BD2=CB2+CD2﹣2CB•CDcosC=62+42﹣2×6×4cosC=52﹣48cosC，
∴20﹣16cosA=52﹣48cosC
结合cosC=cos（180°﹣A）=﹣cosA，得64cosA=﹣32，解得cosA=﹣，
∵A∈（0°，180°），∴A=120°，
代入（*）式，可得四边形ABCD面积S=16sin120°=8
故选：D
点评：本题给出圆内接四边形的各边之长，求它的面积．考查了圆内接四边形的性质、正余弦定理解三角形、三角形面积公式等知识，考查了运用所学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题．
