- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）
设
是定义在
上的函数,满足条件:
①
； ②当
时,
恒成立.
（Ⅰ）判断在
上的单调性,并加以证明；
（Ⅱ）若
,求满足
的x的取值范围.- 答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
- 试题分析：（Ⅰ）所谓抽象函数即为解析式不知的函数，抽象函数是高中数学的难点，对抽象函数的研究常要通过函数的性质来体现，如函数的单调性、周期性和奇偶性．利用赋值法将条件进行转化是解决抽象函数问题的重要策略．（Ⅱ）利用
及
将
转化为
，再利用单调性即可解决.
试题解析：（Ⅰ）
为定义域上的增函数； 1分
设任意
且
，
因为，所以
，
取
，则
，即
3分
因为且，所以
又当时,恒成立，所以
即
，所以 是 上的增函数. 6分
（Ⅱ）因为，
可转换为 9分
所以
，解得
，所以x的取值范围为 12分
考点：函数性质的综合应用.