- 试题详情及答案解析
- 已知函数
，
（1）判断
的奇偶性并说明理由；
（2）当
时，判断在
上的单调性并用定义证明；
（3）当时，若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.- 答案：（1）当
时，为偶函数，当
时，无奇偶性；（2）在
上递减；（3）
.- 试题分析：（1）对于含有参数的函数要想到分情况讨论，当
时，为偶函数，当时，由于
且，所以无奇偶性.（2）通过用定义证明函数单调性，取两个数
，使
，然后证明出
，得到在上递减.（3）恒成立等价于函数的最小值大于
，只要求出的最小值，再解出不等式就可以得到实数的取值范围.
试题解析：（1）当时，
（
），由于
，所以为偶函数 2分
当时，由于且，所以无奇偶性.
综上：当时，为偶函数；当时，无奇偶性. 5分
当时，
，
任取两个数，使，则
，
，
，
，
，
，所以在区间上是递减. 9分
（3）由题意可知：原题等价于
，
由（2）知在区间上是递减，同样用定义法可证明在区间
上是递增的，
所以在
处取得最小值，
， 12分
所以原不等式变为
，即
，
令
，则不等式变为
，解得
，故
，即
，解得
,所以实数的取值范围是. 16分
考点：1、函数的奇偶性.2、函数的单调性.3、函数在区间上最值问题.4、用换元法解不等式.