- 试题详情及答案解析
- 已知二次函数
（其中
）满足下列3个条件：
①
的图象过坐标原点；
②对于任意
都有
成立；
③方程
有两个相等的实数根，令
（其中
），
（1）求函数的表达式；
（2）求函数
的单调区间（直接写出结果即可）；
（3）研究函数在区间
上的零点个数.- 答案：（1）
；（2）当
时，函数增区间为
，减区间为
；
当
时，函数的增区间为
、
，减区间为、
.；（3）当
时，函数在区间上只有一个零点；当
时，函数在区间上有两个不同的零点. - 试题分析：（1）通过已知给的三个条件逐一求出
的值，对于①可以求出
，对于②可以得知函数的对称轴为
，可以求出
，对于③可以根据判别式等于
，求得
的值，则函数表达式就得出.（2）由于函数是带有参数和绝对值的函数，所以需要讨论，首先需要讨论去掉绝对值符号，会得知函数为分段函数，而每段区间又恰好为二次函数，再讨论二次函数对称轴在每段区间的位置关系，就可以得到的单调区间.（3）由于第（2）问得知的单调区间，只需要讨论，
和单调区间端点的位置关系以及正负情况，再通过函数的零点的存在性定理，就可以得出结论.
试题解析：（1）由题意得
，即. 1分
对于任意都有成立，
函数的对称轴为，即
，即.
,
方程仅有一根，即方程
仅有一根，
，即
，即
.
. 4分
.
①当
时，函数
的对称轴为
，
若
，即，函数在
上单调递增；
若
，即，函数在上单调递增，在上单调递减.
②当
时，函数
的对称轴为
，
则函数在上单调递增，在
上单调递减.
综上所述:
当时，函数增区间为，减区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为、 9分
①当时，由（2）知函数在区间上单调递增，
又
，
，
故函数在区间上只有一个零点. 12分
②当时，则
，而，
，
，
（ⅰ）若
，由于
，
且
，
此时，函数在区间上只有一个零点；
（ⅱ）若，由于
且
，此时在区间上有两个不同的零点.
综上所述：
当时，函数在区间上只有一个零点；
当时，函数在区间上有两个不同的零点. 16分
考点：1、求二次函数表达式.2、求解带有参数和绝对值符号的函数的单调性.3、函数零点的存在性定理.