- 试题详情及答案解析
- 如图，正方形ABCD中，P为对角线上的点，PB＝AB，连PC，作CE⊥CP交AP的延长线于E，AE交CD于F，交BC的延长线于G，则下列结论：①E为FG的中点；②
；③AD＝DE；④CF=2DF．其中正确结论的个数是（ ）
- 答案：C
- 试题分析：①如图：
正方形ABCD中BA=BC，∠ABP=∠CBP，BP=BP，∴△ABP≌△CBP，那么∠1=∠2，
在直角三角形ABG中∠1与∠G互余，∠PCE=90°，那么∠2与∠5互余，∴∠5=∠G，∴EC=EG．
在直角三角形FCG中∠3与∠G互余，∠4与∠5也互余，而∠5=∠G，
∴∠3=∠4，∴EC=EF，从而得出EG=EF，即E为FG的中点．∴①正确．
③∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BP=BP，∴△ABP≌△CBP，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠DFA，
∵AB=BP，∴∠1=∠BPA，∵∠DPF=∠APB，∵EF=CE，∴∠3=∠4，∴∠4=∠DPE，
∴D、P、C、E四点共圆，∴∠DEA=∠DCP，∵∠1+∠DAP=90°，∠2+∠DCP=90°，
∴∠DAP=∠DCP=∠DEA，∴AD=DE，∴③正确，
②∵∠3=∠4，AD=DE（③已求证），∴△CEF∽△CDE，∴CE:CF=CD:CE 即CE²=CF·CD
∵∠3=∠4，∴CE=EF，∵E为FG的中点．∴FG=2CE，即CE=
FG，∴
=CF•CD，
即FG²=4CF•CD，∴②正确．
④∵四边形ABCD是正方形，∴△PDF∽△PBA，
∴
∴
∴
即CF=
DF∴④错误，
综上所述，正确的由①②③．
故选C．
考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质,勾股定理.