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试题详情及答案解析
(2014•贵州模拟)函数f(x)=x2(0<x<1)的图象如图所示,其在点M(t,f(t))处的切线为l,l与x轴和直线x=1分别交与点P、Q,点N(1,0),若△PQN的面积为S时点M恰好有两个,则S的取值范围为( )
A.[B.(]C.(D.[
答案:C
试题分析:设M(t,t2),利用导数求出函数在M点处的切线方程,求出P,Q点的坐标,由三角形的面积公式求出△PQN的面积,由面积等于S整理,得到t3﹣4t2+4t=4S,令g(t)=t3﹣4t2+4t,由导数求出g(t)的最大值,再求出g(0),g(1)的值,从而得到△PQN的面积为S时点M恰好有两个时的4S的范围,则S的范围可求.
解:设点M(t,t2),
由f(x)=x2(0<x<1),得:f′(x)=2x,
∴过点M的切线PQ的斜率k=2t.
∴切线PQ的方程为y=2tx﹣t2
取y=0,得
取x=1,得y=2t﹣t2
∴P()、Q(1,2t﹣t2),
=S.
整理得:t3﹣4t2+4t﹣4S=0.
即t3﹣4t2+4t=4S.
令g(t)=t3﹣4t2+4t,
则g′(t)=3t2﹣8t+4,
由g′(t)=0,解得,t2=2(舍).
∴当t∈时,g′(t)>0,g(t)为增函数.
当t∈时,g′(t)<0,g(t)为减函数.
∴当t=时,g(t)有极大值,也就是(0,1)上的最大值为
又g(0)=0,g(1)=1.
∴要使△PQN的面积为S时点M恰好有两个,
,即
∴S的取值范围为
故选:C.
点评:本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数求函数的最值,考查了数学转化思想方法,训练了分离变量法,是中档题.