- 试题详情及答案解析
- （2014•江西三模）已知函数f（x）=
在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则a的取值范围是（ ）- 答案：D
- 试题分析：先利用导数研究在点（1，2）处的切线方程，然后作出函数图象，随着a减小时，半圆向下移动，当点A（﹣4，a）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象都有三个公共点，只需求出零界位置的值即可．
解：当x＞0时，f（x）=x2+1，则f′（x）=2x
∴f′（1）=2×1=2则在点（1，2）处的切线方程为y=2x
当x≤0时，y=f（x）=
即（x+2）2+（y﹣a）2=4（y≥a）
作出函数图象如图
随着a减小时，半圆向下移动，当点A（﹣4，a）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，即a=2×（﹣4）=﹣8
再向下移动，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象有三个公共点，相切时与f（x）的图象有两个交点
即
解得a=﹣4﹣2
＜﹣8
∴a的取值范围是
故选D．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数图象，同时考查了数形结合的数学思想和分析问题的能力，属于难题．
