- 试题详情及答案解析
- （2014•郴州三模）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=xlnx﹣x的图象上的动点，该曲线在点P处的切线l交y轴于点M（0，yM），过点P作l的垂线交y轴于点N（0，yN）．则
的范围是（ ）| A．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） | B．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） |
| C．[3，+∞） | D．（﹣∞，﹣3] |
- 答案：A
- 试题分析：设出P的坐标，求导函数，可得曲线在点P处的切线l的方程，过点P作l的垂线的方程，令x﹣0，可得yM=﹣a，yN=alna﹣a+
，进而可求=﹣lna+1﹣
，利用基本不等式，即可求出
的范围．
解：设P（a，alna﹣a），则
∵f（x）=xlnx﹣x，
∴f′（x）=lnx，
∴曲线在点P处的切线l的方程为y﹣alna+a=lna（x﹣a），即y=﹣a+xlna．
令x=0，可得yM=﹣a，
过点P作l的垂线的方程为y﹣alna+a=﹣
（x﹣a），
令x=0，可得yN=alna﹣a+
，
∴=﹣lna+1﹣，
∵lna+≥2或lna+≤﹣2，
∴﹣（lna+
）≤﹣2或﹣（lna+）≥2，
∴
=﹣lna+1﹣的范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．
故选A．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查基本不等式的运用，属于中档题．