- 试题详情及答案解析
- （本题满分12分）已知椭圆
=1（a＞b＞0）的离心率
，过点
和
的直线与坐标原点距离为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点
，若直线
与椭圆相交于
两点，试判断是否存在
值，使以
为直径的圆过定点
？若存在求出这个值，若不存在说明理由.- 答案：（1）
；（2）存在
.- 试题分析：（1）根据题意双曲线的离心率为
，直线
的方程：
利用点到直线的距离公式得到：
联立解得：
进而求得椭圆方程；（2）假设存在这样的值，由直线方程和（1）求得的椭圆方程联立，同时运用韦达定理得到
，
，若以为直径的圆经过点，须有
，即：
.联立，求得.
试题解析：（1）直线方程为：.
依题意
解得：
∴ 椭圆方程为
.
（2）假设存在这样的值，由
得：
∴
①
设
，
，
，则
②
而
要使以为直径的圆过点，当且仅当
时，则
，即
∴
③
将②式代入③整理解得 经验证，，使①成立
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E.
考点：1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.