- 试题详情及答案解析
- 已知函数
,
,且
点
处取得极值．
（Ⅰ）求实数
的值；
（Ⅱ）若关于
的方程
在区间
上有解，求
的取值范围；
（Ⅲ）证明：
．- 答案：（1）
；（2）
；（3）证明见解析.- 试题分析：（1）求导，利用
求值；（2）分离常数，构造函数，转化为求函数的值域问题；（3）作差构造函数，将证明不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.
解题思路:（1）求函数最值的步骤：①求导函数；②求极值；③比较极值与端点值，得出最值；
（2）若函数在某区间上单调递增，则
在该区间恒成立；“若函数在某区间上单调递减，则
在该区间恒成立.
试题解析：（Ⅰ）∵， ∴
∵函数在点处取得极值，
∴，即当时
，
∴
，则得.经检验符合题意 5分
（Ⅱ）∵,∴
,
∴
.
令
, 6分
则
.
∴当
时，
随的变化情况表：1 （1,2） 2 （2，3） 3 
+ 0 - 
↗ 极大值 ↘
计算得：
，
，
，
所以的取值范围为。 10分
（Ⅲ）证明：令
，
则
， 11分
令
，则
，
函数
在
递增，在上的零点最多一个 12分
又
，
，存在唯一的
使得
， 13分
且当
时，
；当
时，
.
即当时，
；当时，
.
在
递减，在
递增，
从而
. 14分
由得
即
，两边取对数得：
，
，
，
从而证得.
考点：1.函数的极值与最值；2.导数的应用；3.函数的单调性.