- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y（单位：万元）与投资
（单位：万元）满足：
（
为常数），且曲线
与直线
在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像经过点（4，4）.
（1）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；
（2）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元.问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
（参考数据：
）- 答案：（1）甲：
；乙：
；
（2）当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为21.124万元 - 试题分析：（1）函数f(x)的定义域为
，且
，
∵点(1,3)在直线y=kx上，故有k=3 2分
又曲线y=f(x)与直线y=3x在点(1,3)处相切，
故有
，
∴甲产品的利润与投资资金间的函数关系式为 4分
由题意得乙产品投资与利润的关系式为
将点(4,4)代入（*）式，可得m=2
所以乙产品的利润与投资资金间的函数关系式
6分
（2）设甲产品投资x万元，则乙产品投资（40-x）万元，且
，则该公司所得利润为
8分
故有
，
令
，解得
，
令
，解得
，
所以x=15为函数的极大值点，也是函数的最大值点 10分
所以
（万元） 11分
所以当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为21.124万元 12分
考点：此题考查函数在实际中的应用，利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线的切线方程
点评：解决此题的关键是掌握利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线的切线方程