- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱
中，
为AB的中点，且
（1）求证：
；
（2）求二面角
的平面的正弦值.- 答案：（1）见解析；（2）
- 试题分析：（1）∵三棱柱
为直三棱柱，
∴
平面ABC，
又CD
平面ABC，
∴CD，
又AC=BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
又
,
∴CD⊥平面
..2分
又平面
∴CD⊥， 3分
又
,
∴⊥平面
, 5分
又
平面，
∴⊥ 6分
（2）
由（1）知，⊥平面，交于点E，
∴过A作AF⊥A1C于点F，连结EF，
∴A1C⊥面AEF， 8分
∴A1C⊥EF，
则∠AFE为所求二面角A- A1C –D的平面角， 9分
在Rt△A1AD中，
，
则
，
∴
, .10分
同理求得
.11分
∴
，
故二面角A- A1C –D的平面角的正弦值为 12分
考点：本题考查线面垂直的判定和性质，线线垂直的判定，求二面角
点评：解决本题的关键是掌握线面垂直的判定定理，找出二面角的平面角