- 试题详情及答案解析
- （本题满分14分）已知椭圆
经过点
，离心率为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）直线
与椭圆交于
两点，点
是椭圆的右顶点．直线
与直线
分别与
轴交于点
，试问以线段
为直径的圆是否过
轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．- 答案：（1）
；（2）
- 试题分析：（1）由题意得
，解得
，
，进而求出椭圆的方程．
（2）以线段为直径的圆过轴上的定点，由
得
．
设
，则有
，
，进而可得点
，可知直线的方程为
，故点
；直线的方程为
，故点
，
若以线段为直径的圆过轴上的定点
，则等价于
恒成立．即可得到
．解得
，进而可得以线段为直径的圆过轴上的定点．
试题解析：解：（1）由题意得，解得，．
所以椭圆的方程是． 4分
（2）以线段为直径的圆过轴上的定点.
由得．
设，则有，．6分
又因为点是椭圆的右顶点，所以点．
由题意可知直线的方程为，故点．
直线的方程为，故点． 8分
若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立． 9分
又因为
，
，
所以
恒成立．
又因为
，
，
所以
．解得．
故以线段为直径的圆过轴上的定点． 14分
考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系．