- 试题详情及答案解析
- （本题满分15分）已知函数
.
（1）若函数
为偶函数，求
的值；
（2）若
，求函数的单调递增区间；
（3）当
时，若对任意的
，不等式
恒成立，求实数的取值范围.- 答案：（1）
；（2）
，
；（3）
. - 试题分析：（1）据偶函数定义
,得到
,平方后可根据对应系数相等得到
的值,也可将上式两边平方得
恒成立,得的值；（2）当
时，作出函数的图像，即可得到函数的单调递增区间；（3）先将不等式
转化为
，然后利用零点分段法（三段：
（
））去掉绝对值,在每段上分别求解不等式的恒成立问题，可得出各段不等式恒成立时参数的取值范围，注意在后一段时可考虑结合前一段的参数的取值范围进行求解，避免不必要的分类，最后对三段求出的的取值范围取交集可得参数的取值范围.
试题解析：（1）解法一：任取
，则
恒成立
即
恒成立 3分
∴恒成立，两边平方得：
∴ 5分
（1）解法二（特殊值法）：因为函数
为偶函数，所以
，得
，得： （酌情给分）
（2）若，则
8分
作出函数的图像
由函数的图像可知，函数的单调递增区间为及 10分
（3）不等式化为
即： （*）对任意的
恒成立
因为，所以分如下情况讨论：
①
时，不等式（*）化为
即
对任意的
恒成立，
因为函数
在区间
上单调递增，则只需
即可，得
，又
∴
12分
②
时，不等式（*）化为
，
即
对任意的
恒成立，
由①，，知：函数
在区间
上单调递减，则只需
即可，即
，得
或
因为
所以，由①得 14分
③
时，不等式（*）化为
即
对任意的
恒成立，
因为函数
在区间
上单调递增，则只需
即可，
即，得或，由②得
综上所述得，
的取值范围是 15分.
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数性质的综合应用；4.分类讨论思想.