- 试题详情及答案解析
- （本题满分14分）如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，
BD交AC于点E，F是PC中点，G为EC中点．
（1）求证：FG//平面PBD；
（2）当二面角B—PC—D的大小为
时，求FG与平面PCD所成角的正切值．- 答案：（1）详见解析；（2）
. - 试题分析：（1） 连接PE，G.、F为EC和PC的中点，由线面平行的判定定理，即可证明结果.（2）以AB为x轴，AD为y 轴，AP为z轴，建立如图空间直角坐标系，设AB=1，AP="t" ，即可求出平面BPC的一个法向量为
，平面DPC的一个法向量为
，根据二面角B—PC—D的大小为，可得｜
｜=｜
｜=
，即可解得
，即可求出FG与平面PCD所成角
的正弦值．
试题解析：（1） 连接PE，G.、F为EC和PC的中点，
FG//平面PBD （5分）
（2）以AB为x轴，AD为y 轴，AP为z轴，建立如图空间直角坐标系。
设AB=1，AP="t" 则
,
,
（7分）
∴
∴平面BPC的一个法向量为
又
∴平面DPC的一个法向量为 （9分）
二面角B—PC—D的大小为，∴｜｜=｜｜=
∴ （11分）
∴
∴FG与平面PCD所成角的正弦值
， （13分）
∴ （14分）
考点：1.线面平行的判断；2.二面角的应用．