- 试题详情及答案解析
- 证明：对任给的奇素数p，总存在无穷多个正整数n使得p|（n2n﹣1）．
- 答案：见解析
- 试题分析：取n=（p﹣1）k，则由费尔马小定理知2（p﹣1）k≡1（mod p），证明p|（n2n﹣1）即证（p﹣1）k•2（p﹣1）k≡1（mod p），从而可得k=pr﹣1（r∈N*），即可证明．
证明：取n=（p﹣1）k，则由费尔马小定理知2（p﹣1）k≡1（mod p），
所以p|（n2n﹣1）等价于（p﹣1）k•2（p﹣1）k≡1（mod p），
等价于（p﹣1）k≡1（mod p），
等价于k≡1（mod p），
取k=pr﹣1（r∈N*），
∴n=（p﹣1）（pr﹣1），就有（p﹣1）k•2（p﹣1）k≡1（mod p），即p|（n2n﹣1）．
点评：本题考查由费尔马小定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用由费尔马小定理是关键．