- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）已知圆
，直线
（1）求证：对
，直线
与圆
总有两个不同的交点A、B；
（2）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；
（3）若定点P（1，1）满足
，求直线的方程。- 答案：（1）证明见解析；（2）
轨迹方程为圆；（3）
或
； - 试题分析：（1）由题可知，当直线与圆有两个不同的交点A、B时，圆心到直线的距离小于半径，根据性质，得到一个恒成立的不等式，证毕；（2）通过圆的几何性质，可得到三角形CMP为直角三角形，设M的坐标为（x，y），通过坐标的关系即可得到M的轨迹方程；（3）过定点的直线通常采用点斜式，将直线设为
，通过，将x1求出，代回到联立方程中，即可得到m的值，由此可得到直线方程。
试题解析：（Ⅰ）圆的圆心为
，半径为
∴圆心C到直线的距离
∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点； 4分
（Ⅱ）当M与P不重合时，连结CM、CP，则
，
∴
设
，则
，
化简得：
当M与P重合时，
也满足上式。因此，弦AB的中点M的轨迹方程为
设
则
轨迹是半径为
的圆
（Ⅲ）设
，由
得，
∴
，化简的
①
又由
消去
得
（*）
∴
②
由①②解得
，带入（*）式解得
，
所以直线的方程为或 12分
考点：直线与圆的位置关系圆的几何性质