- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知圆C：
，直线
与圆C交于P、Q两个不同的点，M为P、Q的中点．
（Ⅰ）已知
，若
，求实数
的值；
（Ⅱ）求点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若直线
与
的交点为N，求证：
为定值．- 答案：（1）
；
（2）
；
（3）定值为3；- 试题分析：（1）由向量的数量积为0，知两向量是垂直的，即
，因为点A在圆C上故直线过圆心C
，将点的坐标代入到直线方程中，得到；（2）对于求轨迹方程的问题，一般来讲，求哪个点，就设设出哪个点的坐标，利用题意列出关系式，本题中，设
，则
，将坐标代入，化简可得出M的轨迹方程 ；（3）联立方程，通过韦达定理，得出M，N的坐标，从而求出
，
，两者相乘，进行化简，得出定值是3.
试题解析：（Ⅰ）即，
因为点A在圆C上故直线过圆心C，得 3分
（Ⅱ）设 ，则，即
坐标代入得：
化简得： 8分
（Ⅲ）设
将
代入并整理得：
则
为方程(*)的两根
∴
10分与联立得交点
12分
故：
=3 (定值) 14分
考点：向量的数量积圆的性质韦达定理