- 试题详情及答案解析
- （本题满分16分）已知半径为5的圆的圆心在
轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线
相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线
与圆相交于
两点，求实数
的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数
，使得弦
的垂直平分线
过点
.- 答案：
- 试题分析：（1）设圆心为
由圆与直线相切，根据圆心到直线的距离等于半径求出
；（2）由圆与直线相交，则圆心
与直线的距离小于半径；（3）若存在，设
的方程为
，即
，又因为弦
的垂直平分线必过圆心，把圆心坐标代入直线方程求出实数，检验此时直线与圆相交于两点.
试题解析：（1）设圆心为
由于圆与直线
相切，且半径为5，
所以
即
，
解得
因为为整数，故
，
故所求的圆的方程是
（5分）
（2） 此时，圆心与该直线的距离
即：
（10分）
（2）设符合条件的实数
存在，
，则直线的斜率为
，的方程为，即．
由于垂直平分弦，故圆心
必在上．
所以
解得
．
经检验，直线
与圆有两个交点， （14分）
故存在实数，使得过点
的直线垂直平分弦 （16分）
考点：1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系.