- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）已知函数定义域为
，若对于任意的
，都有
，且时，有.
（Ⅰ）证明函数是奇函数；
（Ⅱ）讨论函数在区间上的单调性；
（Ⅲ）设，若
，对所有
，
恒成立，求实数
的取值范围.- 答案：（Ⅰ）奇函数；（Ⅱ）单调递增函数；（Ⅲ）
或
.- 试题分析：（Ⅰ）对于抽象函数的研究，往往用赋值法，即给变量赋予特殊值或特殊关系，奇偶性的判断需从定义出发；（Ⅱ）单调性的研究也必须从定义出发；（Ⅲ）利用已经得到的单调性，去掉函数法则符号，转化为具体的不等式，然后再利用变更主元的思想方法求参数的范围.
试题解析：（Ⅰ）因为有，
令，得
，所以， 1分
令可得：
所以，所以为奇函数. 3分
（Ⅱ）
是定义在
上的奇函数，由题意设
，则
由题意
时，有
，
是在上为单调递增函数； 7分
（Ⅲ）因为在上为单调递增函数，
所以在上的最大值为
， 8分
所以要使<，对所有
恒成立，
只要
，即
， 9分
令
由
得
，
或. 12分
考点：抽象函数及其性质的综合应用.