- 试题详情及答案解析
- （本小题满分16分）
（1）求右焦点坐标是
，且经过点
的椭圆的标准方程.
（2）已知椭圆
,设斜率为
的直线
交椭圆
于
两点，
的中点为
，证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上.
（3）利用（2）中所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出图中的定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.
- 答案：（1）
；（2）详证见解析；（3）作图步骤见解析. - 试题分析：（1）先设出椭圆的标准方程，根据焦点坐标可求得
，进而得到
和
的关系，把点
代入椭圆方程，求得，进而根据
求得，椭圆的方程可得.
（2）设直线的方程为
且椭圆C的交点
、
，直线方程和椭圆方程联立进而可得
和
的表达式，进而可得AB中点M的坐标从而可判定AB的中点M在过原点的直线
.
（3）作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于
、
和
、
，并分别取
、
的中点
、
，连接直线
，那么直线
和的交点O即为椭圆中心.
试题解析：解：（1）设椭圆的标准方程为
，
∴
，即椭圆的方程为
.
∵点在椭圆上，∴
，解得
或
（舍）
由此得
，即椭圆的标准方程为
.
（2）设直线的方程为
与椭圆的交点为
，则联立方程：
，得
，
即
.则
，
，
中点的坐标为
。
的中点
在过原点的直线上.
（3）作两条平行直线分别交椭圆于和
，并分别取
的中点
，连接直线；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于
和
，并分别取
的中点
，连接直线
，那么直线和的交点
即为椭圆中心。
考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与圆锥曲线的综合问题.