- 试题详情及答案解析
- （9分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC形内一点，且∠APB=∠APC=135°．
（1）求证：△CPA∽△APB；
（2）试求tan∠PCB的值．- 答案：（1）见解析 （2）2.
- 试题分析：（1）根据∠PBA+∠PAB=45°和∠PAC+∠PAB=45°得出∠PAC=∠PBA，再根据已知条件∠APB=∠APC得出三角形相似；（2）根据等腰直角三角形的性质得出CA和AB的比值，设CP=k，则PB=2k，然后根据∠BPC=90°求出∠PCB的正切值.
试题解析：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAC=45°，即∠PAC+∠PAB=45°，
又在△APB中，∠APB=135°， ∴∠PBA+∠PAB=45°， ∴∠PAC=∠PBA，
又∠APB=∠APC， ∴△CPA∽△APB．
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴
， 又∵△CPA∽△APB， ∴
，
令CP=k，则
，
又在△BCP中，∠BPC=360°﹣∠APC﹣∠APB=90°， ∴
．
考点：三角形相似的判定、锐角三角函数的计算.