- 试题详情及答案解析
- （10分）已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ．- 答案：（1）等边三角形；（2）S=
；（3）t=
. - 试题分析：（1）当t=2时，分别求出BQ和BP的长度，然后进行说明；（2）过点Q作QE⊥AB，利用三角函数求出QE的长度，然后求出△BPQ与t之间的关系；（3）根据题意可得△CRQ为等边三角形，求出QR、BE、EP与t的关系可以得出四边形EPQR是平行四边形，然后进行计算.
试题解析：（1）△BPQ是等边三角形
当t=2时 AP=2×1=2，BQ=2×2=4
∴BP=AB﹣AP=6﹣2=4 ∴BQ=BP 又∵∠B=60°
∴△BPQ是等边三角形；
（2）过Q作QE⊥AB，垂足为E
由QB=2t，得QE=2t•sin60°=
t 由AP=t，得PB=6﹣t
∴S△BPQ=
×BP×QE=（6﹣t）×
t=﹣
t
∴S=﹣t；
（3）∵QR∥BA ∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°
∴△QRC是等边三角形 ∴QR=RC=QC=6﹣2t
∵BE=BQ•cos60°=
×2t=t
∴EP=AB﹣AP﹣BE=6﹣t﹣t=6﹣2t
∴EP∥QR，EP=QR ∴四边形EPRQ是平行四边形
∴PR=EQ=t 又∵∠PEQ=90°， ∴∠APR=∠PRQ=90° ∵△APR∽△PRQ，
∴∠QPR=∠A=60° ∴tan60°=
即
解得t=
∴当t=时，△APR∽△PRQ．
考点：二次函数的实际应用、三角形相似的判定.