- 试题详情及答案解析
- （13分） 定义在
上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,
都有
成立,则称
是上的有界函数,其中
称为函数的上界．
已知函数
; 
（I）当
时,求函数
在
上的值域,并判断函数在上是否为
有界函数,请说明理由;
（Ⅱ）若函数在
上是以3为上界的有界函数,求实数
的取值范围;
（Ⅲ）已知
,函数
在
上的上界是
,求的取值范围．- 答案：（I） 不是有界函数；（Ⅱ）
；（Ⅲ） 
． - 试题分析：（Ⅰ）将a=1代入f（x）可得
，利用指数函数的单调性判断出f（x）在
上是单调递减函数，即可求得
，从而得到f（x）的值域，根据有界函数函数的定义，即可判断出f（x）不是有界函数；
（Ⅱ）根据有界函数的定义，可得
在
上恒成立，利用参变量分离转化为
在上恒成立，令
，则
，
，问题转化为求h（t）的最大值和p（t）最小值，利用函数单调性的定义，分别判断出函数h（t）和p（t）的单调性，即可求得最值，从容求得a的取值范围．
试题解析：（I）当时, ,
因为
在上递减,所以
,即在
的值域为
故不存在常数,使成立 ，所以函数在上不是有界函数
（Ⅱ）由题意知,
在
上恒成立．
, 
∴ 
在上恒成立
∴ 
设
,,,由
得 t≥1,
（设
,
所以
在上递减,
在上递增, （单调性不证,不扣分））
在上的最大值为
, 在上的最小值为
所以实数的取值范围为
（Ⅲ）
, ∵ m>0 ,
∴ 在上递减,
∴ 
即
∵ 
, ∴ 在上递增,
∴ 
即个
①当
时,
,
此时 
②当
,即,
,
此时 ,
③当时,
,此时 
综上所述:当
时,的取值范围是
;
当时,的取值范围是 ．
考点：函数恒成立问题；函数最值的应用．