- 试题详情及答案解析
- （12分）如图①，OP是∠MON的平分线。
（1）请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。（3分）请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60゜，AD、CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断并写出EF与DF之间的数量关系并证明。（7分）
（3）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（2）中的其他条件不变。请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？ ______________ （填 是或否）。（2分）
（2）证明：
- 答案：见解析
- 试题分析：（1）提到角平分线就会想到角平分线上的点到角两边的距离相等，就要做辅助线（过角平分线上的任一点到角两边的距离），构造全等三角形
（2）过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，从而根据角平分线的性质得证△DMF≌△ENF，最终得出结果；
（3）过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，从而根据角平分线的性质得证△DMF≌△ENF，因此可判断.
试题解析：（1）
（2）②相等，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴
∴∠CDA=75°，
∵∠MFC=45°，∠MFN=120°，
∴∠NFE=15°，
∴∠NEF=75°=∠MDF，
∴△DMF≌△ENF，
∴FE=FD；
③是．
过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，
∴四边形BNFM是圆内接四边形，
∵∠B=60°，
∴∠MFN=180°-∠B=120°，
∵
∴∠DFE=∠CFA=120°．
又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，
∴∠DFM=∠DFE，
∴△DMF≌△ENF，
∴FE=FD．
考点：角平分线的性质，三角形全等的判定与性质