- 试题详情及答案解析
- 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤
．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论中始终正确的序号有 ．
- 答案：①②③⑤.
- 试题分析：根据等腰直角三角形的性质可得AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，判定②正确，然后利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF，判定①正确，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形，判定③正确；根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的
倍表示出EF，可知EF随着点E的变化而变化，判定④错误，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半，判定⑤正确．
试题解析：∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，
∴∠EAP=
∠BAC=45°，AP=BC=CP．
①在△AEP与△CFP中，
∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，
∴△AEP≌△CFP，
∴AE=CF．正确；
②由①知，△AEP≌△CFP，
∴∠APE=∠CPF．正确；
③由①知，△AEP≌△CFP，
∴PE=PF．
又∵∠EPF=90°，
∴△EPF是等腰直角三角形．正确；
④只有当F在AC中点时EF=AP，故不能得出EF=AP，错误；
⑤∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．
∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC．正确．
故正确的序号有①②③⑤
考点：1.旋转的性质；2.全等三角形的性质； 3.等腰三角形的性质．