- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）
已知定义域为
的函数
满足：①
时，
；②
③对任意的正实数
，都
有
．
（1）求证：
；
（2）求证：在定义域内为减函数；
（3）求不等式
的解集．- 答案：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
.- 试题分析：
（1）令
，即可求得
，令
，即可证得
（2）利用单调性的定义即可证明；
（3）根据（2）可求得
，从而可得
，再利用在定义域内为减函数，即可求得其解集.
试题解析：
（1）因为对任意
，都有，
所以令，则
，即
再令，则
，所以
，即；
（2）设
，且
，则
，所以
又
所以
，即
，
所以
在
上是减函数；
（3）由
，得
，又
，所以
所以不等式为
，
即
，亦即
因为是上的减函数，
所以
，解得
，
所以不等式的解集为.
考点：抽象函数及其应用；函数单调性的证明及性质.