- 试题详情及答案解析
- 在平面直角坐标系
中，已知椭圆
：
（
）的离心率
且椭圆上的点到点
的距离的最大值为3.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上，是否存在点
，使得直线
：
与圆
：
相交于不同的两点
、
，且
的面积最大？若存在，求出点
的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.- 答案：（1）
；（2）存在，M的坐标为
、
、
、
，最大值为
。- 试题分析：（1）离心率
，得到
，即此时椭圆方程为
，设椭圆上的点为P
，
两点间的距离等于3，可得到b=1，所以可求得椭圆方程；（2）在解析几何中，三角形的面积公式通常有两种计算方式，
，本题由于没有给出角度的关系，所以采用第一种方法。通过联立方程即可得到M的坐标。
试题解析：（Ⅰ）因为，所以
，于是
. 1分
设椭圆上任一点
，椭圆方程为
，
，
=
①当
，即
时，
（此时
舍去； 3分
②当
即
时，
5分
综上椭圆C的方程为
。 6分
（Ⅱ）圆心到直线的距离为
，弦长
，所以的面积为
8分
点
,
10分
当
时，
由
得
综上所述，椭圆上存在四个点、、、，使得直线与圆相交于不同的两点、，且的面积最大，且最大值为
. 12分
考点：直线与椭圆的位置关系