- 试题详情及答案解析
- （12分）如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．
（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求DE的长；
（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长 ．- 答案：（1）
；（2）
；（3）
或
． - 试题分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点坐标式，然后将C点坐标代入求解即可．
（2）由于DE是⊙A的切线，连接AE，那么根据切线的性质知AE⊥DE，在Rt△AED中，AE、AB是圆的半径，即AE=OA=AB=3，而A、D关于抛物线的对称轴对称，即AB=BD=3，由此可得到AD的长，进而可利用勾股定理求得切线DE的长．
（3）若△BFD与EAD△相似，则有两种情况需要考虑：①△AED∽△BFD，②△AED∽△FBD，根据不同的相似三角形所得不同的比例线段即可求得BF的长．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为
；∵抛物线经过点A（3，0）和C（0，9），∴
，解得：
，
，∴；
（2）连接AE；∵DE是⊙A的切线，∴∠AED=90°，AE=3，∵直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点，∴AB=BD=3，∴AD=6；在Rt△ADE中，
=
=27，∴DE=；
（3）当BF⊥ED时；∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，∴△AED∽△BFD，∴
，即
，∴BF=；当FB⊥AD时，∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，∴△AED∽△FBD，∴
，即BF=
；∴BF的长为或．
考点：二次函数综合题．