- 试题详情及答案解析
- （2015•兴国县一模）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（ ）
A．γ＞α＞β B．β＞α＞γ C．α＞β＞γ D．β＞γ＞α - 答案：A
- 试题分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），
则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=
，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．
解：∵g′（x）=1，h′（x）=
，φ′（x）=3x2，
由题意得：
α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，
①∵ln（β+1）=
，
∴（β+1）β+1=e，
当β≥1时，β+1≥2，
∴β+1≤
＜2，
∴β＜1，这与β≥1矛盾，
∴0＜β＜1；
②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，
∴3γ2＞0
∴γ3＞1，
∴γ＞1．
∴γ＞α＞β．
故答案为 A．
点评：函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点．