- 试题详情及答案解析
- （2015•黄冈模拟）定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=
，f′（x2）=
，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=
x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（ ）A．（1，3） B．（ 
，3）C．（1， ）D．（1， ）∪（，3）- 答案：B
- 试题分析：由新定义可知f′（x1）=f′（x2）=
a2﹣a，即方程x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围．
解：由题意可知，
在区间[0，a]存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），
满足f′（x1）=f′（x2）=
=
=
a2﹣a
∵f（x）=x3﹣x2+a，
∴f′（x）=x2﹣2x，
∴方程x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个解．
令g（x）=x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a）
则
解得
＜a＜3，
∴实数a的取值范围是（
，3）．
故选：B．
点评：本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题．