- 试题详情及答案解析
- （2014•河南一模）已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，则函数g（x）=f（x﹣1）﹣f′（x﹣1）﹣3的零点所在区间是（ ）
| A．（1，2） | B．（2，3） | C．（ ，1） | D．（0，） |
- 答案：B
- 试题分析：由∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，可设f（x）﹣log3 x=c（c为常数），求出g（x）的解析式，并说明g（x）的单调性，计算g（2），g（3），确定符号，由零点存在定理即可得到答案．
解：∵对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，
∴可设f（x）﹣log3 x=c（c为常数），则f（x）=log3 x+c，
∴f[f（x）﹣log3 x]=f（c）=log3c+c=4，∴c=3，
∴f（x）=log3 x+3，
∴g（x）=f（x﹣1）﹣f′（x﹣1）﹣3=log3（x﹣1）﹣
log3e在（1，+∞）上为增函数，
g（2）=﹣log3e＜0，g（3）=log32﹣log3e=log3
＞0，
由零点存在定理得，函数g（x）的零点所在的区间为（2，3）．
故选B．
点评：本题主要考查函数的零点的判断，考查应用零点存在定理判断函数的零点所在范围，同时考查函数导数的运算和函数的单调性，是一道函数综合题．