- 试题详情及答案解析
- 如图，单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列说法错误的是（ ）
A.BD1⊥B1C
B.若
，则PE∥A1B
C.若点B1、A、D、C在球心为O的球面上，则点A、C在该球面上的球面距离为
D.若
，则A1P、BE、AD三线共点- 答案：C
- 试题分析：以D点为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用直线所在向量的数量积判定两直线是否垂直，是否平行，利用余弦定理求圆心角，以及利用两平面的公共点肯定在交线上进行判定即可．
解：以D点为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则A1（1，0，1），D1（0，0，1），B（1，1，0），B1（1，1，1），C（0，1，0），
选项A：
=（﹣1，﹣1，1），
=（﹣1，0，﹣1），则•=0∴BD1⊥B1C
选项B：若，则P（0，0，
），E（0，，0）
∴
=（0，，﹣），
=（0，1，﹣1）则=﹣∴PE∥A1B
选项C：若点B1、A、D、C在球心为O的球面上，则该球为正方体的外接球，OA=OC=
，AC=
；
则AC所对的圆心角为π﹣arccos
，∴点A、C在该球面上的球面距离为
，则选项C不正确；
选项D：由选项B可知PE∥A1B，且PE=A1B，∴A1P、BE共面且相交，假设交点为Q，Q∈A1P，A1P⊂面A1PD，Q∈BE，BE⊂面BED
∴Q∈面A1PD，Q∈⊂面BED，而面A1PD∩面BED=AD∴Q∈AD即A1P、BE、AD三线共点于Q．
故选C．
点评：本题主要考查了利用空间向量判定空间两直线平行、垂直，以及向量的线性运算性质及几何意义，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．