- 试题详情及答案解析
- 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM（ ）
A.和AC、MN都垂直
B.垂直于AC，但不垂直于MN
C.垂直于MN，但不垂直于AC
D.与AC、MN都不垂直- 答案：A
- 试题分析：此题的条件使得建立空间坐标系方便，且选项中研究的位置关系也适合用空间向量来证明其垂直关系，故应先建立坐标系，设出边长，据几何特征，给出各点的坐标，验证向量内积是否为零．
解：以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a，则D（0，0，0）、D1（0，0，2a）、M（0，0，a）、A（2a，0，0）、C（0，2a，0）、O（a，a，0）、N（0，a，2a）．
∴
=（﹣a，﹣a，a），
=（0，a，a），
=（﹣2a，2a，0）．
∴•=0，•=0，
∴OM⊥AC，OM⊥MN．
故选A．
点评：考查用空间向量的方法来判断线线垂直，本题的方法是空间向量应用于立体几何中的主要方式，可以看到用向量法解决本题，大大降低了思维的难度．