- 试题详情及答案解析
- （2009•杭州二模）已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足
是“点P位于平面ABC内”的（ ）| A．充分但不必要条件 |
| B．必要但不充分条件 |
| C．充要条件 |
| D．既不充分也不必要条件 |
- 答案：C
- 试题分析：要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件，自然想到共面向量定理．用
表示出 
，进而用 
表示 ，三者的系数之和为1即可找出答案．
解：已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足
是“点P位于平面ABC内”的充要条件．证明如下：
（必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，
则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面
⇔对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得 
=
+x1
+y1
=+x1（ 
﹣）+y1（ 
﹣）
=（1﹣x1﹣y1） 
+x1
+y1
，
取x=1﹣x1﹣y1、y=x1、z=y1，
则有 
="x" +y +z ，且x+y+z=1．
（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得 ="x" 
+y 
+z 
．
所以x=1﹣y﹣z得 
=（1﹣y﹣z） +y +z ．
=+y 
+z 
，即：
，
所以四点A、B、C、D共面．
所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：
对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得 
="x" 
+y 
+z 
．
故选C．
点评：本题考查共线向量与共面向量定理，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．