- 试题详情及答案解析
- (本小题满分12分)定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的上界.已知函数,
(1)当时,求函数在上的值域,并判断函数在上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数在上是以4为上界的有界函数,求实数的取值范围.- 答案:(1)函数在上不是有界函数;(2)
- 试题分析:(Ⅰ)将代入可得,令利用函数的单调性判断出在上是单调递增函数,即可求得,从而得到的值域,根据有界函数函数的定义,即可判断出不是有界函数;
(Ⅱ)根据有界函数的定义,可得在上恒成立,利用参变量分离转化为在上恒成立,令,则,,问题转化为求的最大值和最小值,利用函数单调性的定义,分别判断出函数和的单调性,即可求得最值,从容求得的取值范围.
试题解析:(1)当时, ,令 ,因为在上单调递增,,即在的值域为
故不存在常数,使成立,所以函数在上不是有界函数。
(2)由题意知,对恒成立。
,令∴ 对恒成立 9分∴
设,,由,
由于在上递增,在上递减,
在上的最大值为, 在上的最小值为
所以实数的取值范围为。
考点:1.指数与指数函数;2.函数综合.